matemática financeira

RAZÕES E PROPORÇÕES:
RAZÃO:
 Razão do número a para o número b , é o quociente de a por b. Onde a é o antecedente e b o conseqüente. A palavra razão vem do latim e significa a divisão ou o quociente entre dois números A e B, denotada por:
                                
Lê-se: a está para b.
Exemplos:
a razão de 2 para 5  2 / 5.
a razão de 3 para 4  3 / 4.

Razões Inversas:  duas razões são inversas uma da outra quando seu produto é igual a 1.
Exemplo:  2 / 5 e 5 / 2 são inversas, pois:

Razões Iguais: duas razões são iguais quando as duas frações que representam são equivalentes.
Exemplo:  , onde:  = equivalentes
Podemos dizer que , note que 3 x 4 = 2 x 6.

Existem algumas razões especiais que são muito utilizadas no nosso dia-a-dia e das quais você já deve ter ouvido falar: escala, velocidade média, e densidade demográfica.


VELOCIDADE MÉDIA:
Situação: Suponhamos que um trem percorreu 453km em 6h. qual foi a velocidade média do trem nesse percurso?.

Outra aplicação de razão entre duas grandezas é no cálculo da velocidade média de um veiculo. Assim, a velocidade média é a razão entre a distância total percorrida pelo veiculo e o tempo por ele gasto para percorrer-la, ou seja:



   


PROPORÇÃO:

É a igualdade entre duas razões.                                
Exemplo:  é uma proporção pois .
Leitura: 1 está para 2 assim como 3 esta para 6.







1- Propriedade fundamental: Em toda proporção o produto dos extremos é igual ao produto dos meios.                 
     , então a b = c d, temos a . d = c . b

onde a e d são extremos e b e c são meios, e :
a 1° termo ou antecedente da 1ª razão.
b 2° termo ou conseqüente da 1ª razão.
c 3° termo ou antecedente da 2ª razão.
d 4° termo ou conseqüente da 2ªrazão.
Exemplo:
a)   2 x 10 = 5 x 4 é uma proporção pois: 20 = 20.
b)   3 x 8 = 9 x 4 não é uma proporção pois: .

2 – Propriedade da soma: A soma dos dois primeiros termos, está para o primeiro ou para o segundo termo, assim como a soma dos dois últimos termos, está para o terceiro ou para o quarto termo.
                         
3 – Propriedade: A soma (ou diferença) dos antecedentes está para a soma (ou diferença) dos conseqüentes, assim como cada antecedente está para o seu conseqüente

 =

4 – Propriedade: O produto dos antecedentes está para o produto dos conseqüentes, assim como o quadrado de qualquer antecedente está para o quadrado do respectivo conseqüente.
 
Grandezas Diretamente Proporcionais: quando duas grandezas variam sempre na mesma razão, dizemos que essas grandezas são diretamente proporcionais, ou seja, quando uma grandeza aumenta a outra também aumenta e vice-versa.
Exemplo: 
Grandezas Inversamente Proporcionais: quando duas grandezas são inversamente proporcionais, os números que expressam essas grandezas variam um na razão inversa do outro, ou seja quando uma aumenta a outra diminui.
Exemplo: 

Números Diretamente Proporcionais: os números racionais são diretamente proporcionais aos números racionais, quando se tem .
Exemplo:

Números Inversamente Proporcionais: os números racionais são inversamente proporcionais aos números racionais quando se tem
Exemplo:

DIVISÃO PROPORCIONAL

a) Diretamente:
Exemplos:
1 – Dividir o número 180 em partes diretamente proporcionais a 5, 6 e 7.
b) Inversamente:
Exemplos:
1 –  Três amigos possuem R$ 210,00 e querem divider em partes inversamente proporcionais a 3, 5 e 6. Quanto caberá a cada um?
c) Diretamente-Diretamente:
Exemplos:
1 – Dividir o número 310 em partes que sejam  diretamente proporcionais aos números  2, 3 e 5 e simultaneamente diretamente proporcional a 6, 3 e 2.
d) Inversamente-Inversamente:
Exemplo:
1 – Dividir o número 2920 em partes tais que sejam, ao mesmo tempo, inversamente proporcionais a 3, 5, 6 e 4, 6, 9.
e) Diretamente-Inversamente:                                               
Exemplo:
1 – Dividir o número em 3.560 em partes, tais  que sejam, ao mesmo tempo, diretamente proporcionais a 3, 5, 8 e inversamente proporcionais a 4, 6, 9.

EXERCICIOS.

1) Em uma classe mista a razão entre o número de meninos e o número de meninas é 3 2.  Sabendo-se que o número de meninos é 18, o número de meninas é?
a) 3             b) 12               c) 18               d) 36               e) 20

2) A razão entre a quantia que gasto e a quantia que recebo como salário por mês é de 8/9.  O que resta aplico em caderneta de poupança.  Se neste mês meu salário foi  de R$ 2.700,00, então a quantia que devo aplicar na caderneta de poupança é:
a) 270,00   b) 250,00   c) 320,00   d) 360,00  e) 300,00

 3) A idade de um pai está para a de seu filho como 7 está para 5/3.  Se a soma das idades é 52, qual a idade de cada um?
a) 42 anos e 10 anos            
b) 38 anos e 14 anos
c) 45 anos e 7 anos               
d) 40 anos e 12 anos
e) 44 anos e 8 anos
4) A razão entre dois números e , e a soma desses números e igual a 35. Encontre estes dois números?.
a) 15 e 21
b) 21 e 14
c) 14 e 21
d) 15 e 21
e) 10 e 20

5) A diferença entre os comprimentos de duas peças de fazenda é de 15m e estes estão entre sí assim como 7 está para 4. calcule a metragem de cada peça.
a) 10 e 15
b) 21 e 36
c) 35 e 20
d) 20 e 35
e) 30 e 35

6) As idades de 2 meninas são tais que: a razão entre elas é  e a diferença 2 anos. Determine essas idades.
a) 8 e 6
b) 5 e 4
c) 3 e 9
d) 7 e 5
e) 10 e 6

7) (TRT-17º REGIÃO) Em uma empresa, o atendimento ao publico é feito por 45 funcionários que se revezam, mantendo a relação de 3 homens para 2 mulheres. E correto a firmar que, nessa empresa dão atendimento a: 
a)16 mulheres         b)18 mulheres            c)18 homens           d)25 hoens               e) 32 homens

8) Num exame de vestibular, a razão entre o número de vagas e o número de candidatos é de 3 para 8. sabendo que há 15600 candidatos inscritos, o número de vagas é:
a) 1950           b) 1975     c) 5850       d) 1900   e) 5700




9) (UFRS) Uma estrada de 315 km de extensão foi asfaltada por três equipes, A, B e C, cada uma delas atuando em um trecho diretamente proporcional aos números 2, 3 e 4, respectivamente. O trecho da estrada asfaltada, em km,  pela turma C foi de:
a) 70            b) 96            c) 105            d) 126                e) 140

10) Um comerciante precisa pagar três dívidas: uma de
30 mil reais, outra de 40 mil reais e uma terceira de 50 mil reais. Como ele só tem 90 mil reais, resolve pagar quantias diretamente proporcionais a cada débito. Nessas condições, o maior credor receberá uma quantia de:
a) 30 mil reais        
b) 37,5 mil reais         
c) 36 mil reais           
d) 22,5 mil reais            
e) 32 mil reais

11) Os três donos de uma indústria não possuem partes iguais dessa indústria. As partes que eles possuem são diretamente proporcionais aos números 6, 3 e 2. Sabendo que o lucro atingiu 22 milhões de reais líquidos e que esse lucro será dividido em partes diretamente proporcionais ao que eles possuem na indústria, então a parte do lucro, em milhões, que coube ao sócio que tem maior participação é de:
a) 4                b) 6                 c) 8                 d) 12                e)15

12) Se dividirmos o número 292 em três partes que sejam, ao mesmo tempo, inversamente proporcionais a 3, 5 e 6  e a  4,  6 e  9, qual a maior parte ?
a) 180           
 b) 72            
c) 27             
d) 40            
e) N.R.A

13) (Pref. Ananindeua) Um treinamento de voleibol teve 240 minutos de duração e foi dividido em três partes: a primeira foi dedicada a preparação física.  A segunda, ao treinamento de jogadas ensaiadas e bloqueios e a terceira, a um “racha”  entre os jogadores.  Sabendo-se que os tempos de duração de cada parte são diretamente proporcionais aos números 3, 4 e 1.  Quanto tempo durou cada parte do treinamento?
a) 90 minutos, 120 minutos e 30 minutos.
b) 100 minutos, 110 minutos e 30 minutos.
c) 80 minutos, 120 minutos e 40 minutos.
d) 70minutos, 130 minutos e 40 minutos.
e) 90minutos, 100 minutos e 50 minutos.

14) (UnB/Cespe) Nas docas de um porto, um navio descarrega 3 tipos diferentes de caixas, cujos volumes são grandezas diretamente proporcionais a 1, 3 e 16. Se a soma dos volumes de 3 dessas caixas, sendo cada uma de um tipo, é igual a , então a soma dos volumes das 2 caixas maiores é:
a)        b)         
 c)       d)     e)


15) (UNB/Cespe) Alexandre, Jaime e Vitor são empregados de uma empresa e recebem, respectivamente, salários que são diretamente proporcional aos números 5, 7 e 9. A soma dos salários desses empregados corresponde a R$ 4.200,00. Nessa situação, após efetuar o cálculos, conclui-se que:
a) A soma do salário de Alexandre com o de Vitor é igual ao dobro do salário de Jaime.
b) Alexandre recebeu salário superior a R$ 1.200,00
c) O salário de Jaime é maior que R$ 1.600,00.
d) O salário de Vitor é 90% maior do que o de Alexandre.

16) (Unb/Cespe-PGE/PA-2007) Um órgão publico contratou por meio de concurso, 60 servidores de nível superior, com salário mensal de x reais, e y servidores de nível médio, com salário mensal de R$ 600,00. Sabe-se que a folha de salário do órgão será acrescida de R$ 141.000,00 mensais com essas contratações, e que os valores totais dos salários desses novos servidores, por níveis de escolaridade, são diretamente proporcionais a 34 e 13, respectivamente. Nessa situação, é correto afirmar que a soma  é igual a:
a) 1.765      
b) 1.775      
c) 1.785      
d) 1.795          
e) 1.876

17) (Unb/Cespe- Detran-Pa/2006) Uma empresa de transporte coletivo serve 3 localidades de uma cidade. Para atender as 3 localidades, os veículos da empresa são divididos em 3 grupos, em quantidades que são diretamente proporcionais aos números  5, 7 e 11. O produto das quantidades de veículos dos dois grupos menores é igual a 140. Nessa situação, a frota dessa empresa é composta de:
a) 44 veículos
b) 46 veículos
c) 48 veículos
d) 50 veículos

18) (UFPA – 2010 Prova cancelada) A orquestra sinfônica do theatro da paz (OSTP) é composta por músico de quatro naipes de instrumentos distintos: Ela conta com 27 músicos de cordas, 11 de metais, 8 de madeiras e 4 de percussão. No caso de se desejar ampliar a orquestra, de modo que ela passe a ter 150 músicos e tal que os naipes de instrumentos mantenham a mesma proporção entre eles, o número de músicos de cordas e o numero de músicos de metais passariam a ser, respectivamente,
a) 54 e 22
b) 60 e 30
c) 50 e 20
d) 82 e 40
e) 81 e 33